문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼각함수의 덧셈정리 (문단 편집) ==== 모든 각에 대하여 덧셈 정리가 유효한 이유 ==== 위 문단에서 [math(\alpha \geq \beta \geq 0)], [math(\alpha + \beta \geq 0)] 혹은 [math(\alpha - \beta \geq 0)]을 만족시킬 때, 덧셈 정리를 유도했다. 그렇다면 모든 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대해서도 덧셈 정리가 성립할까? 예를 들어서 설명하면 '코사인의 덧셈 정리 [math(\cos{(\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})]가 [math(\alpha \geq 0)], [math(\beta < 0)]을 만족시킬 때, 이 덧셈 정리는 유효한가?'가 이 문단에서 묻고자 하는 바이다. 결론적으로 말하면, 모든 각에 대하여 유효한데, 이것을 이 문단에서 초등적으로 증명해보고자 한다. [math(\alpha)], [math(\beta)]의 부호에 관계 없이 덧셈 정리가 유효함을 증명하는 것은 코사인에 대해서만 할 것인데, 이는 코사인을 통해 사인, 탄젠트의 덧셈 정리가 유도됐기 때문에 코사인이 증명되면 사인과 탄젠트는 자동으로 성립하기 때문이다. 우선 [math(\cos{(\alpha+\beta)})]에 대해 증명하자. 코사인의 성질로 위의 조건을 만족시키도록 식을 변형한 뒤 식을 되돌리는 방식으로 증명한다. '''[1]''' [math(\boldsymbol{\alpha \geq0,\,\beta < 0})] ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \end{aligned} )] || 한편, [math(\alpha-|\beta|)]는 양도 음도 될 수 있으므로 [math(\alpha \geq |\beta|)], [math(\alpha < |\beta|)]인 영역으로 나눈다. 전자의 경우 [math(\alpha -|\beta| > 0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓸 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{|\beta|}+\sin{\alpha}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{\alpha}\cos{(-|\beta|)}+\sin{\alpha}\{-\sin{(-|\beta|)}\}\\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] || 따라서 덧셈 정리를 적용할 수 있다. 후자에 대해선 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{(|\beta|-\alpha)} \end{aligned} )] || [math(|\beta|-\alpha>0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓰면 다음과 같이 동일한 결과를 얻는다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)} &=\cos{|\beta|}\cos{\alpha}+\sin{|\beta|}\sin{\alpha} \\ &=\cos{(-|\beta|)}\cos{\alpha}+\{-\sin{(-|\beta|)}\}\sin{\alpha} \\&=\cos{\beta}\cos{\alpha}-\sin{\beta}\sin{\alpha} \\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] || '''[2]''' [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta \geq 0})] ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(-|\alpha|+\beta)}=\cos{(\beta-|\alpha|)} \end{aligned} )] || 그런데 이 꼴은 '''[1]'''에서 보았던 꼴이므로 '''[1]'''의 결과에서 [math(\alpha \to \beta)], [math(\beta \to \alpha)]로 대치하면 된다. 따라서 이 경우에도 덧셈 정리는 성립한다. '''[3]''' [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta < 0})] ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\{-(|\alpha|+|\beta|)\}}=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \end{aligned} )] || 이 경우 [math(|\alpha| +|\beta| > 0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓸 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \\ &=\cos{|\alpha|}\cos{|\beta|}-\sin{|\alpha|}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{(-|\alpha|)}\cos{(-|\beta|)}-\{-\sin{(-|\alpha|)}\}\{-\sin{(-|\beta|)}\} \\&= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] || 곧, 이 경우에도 덧셈 정리가 성립한다. 같은 방법으로 [math(\cos{(\alpha-\beta)})]의 경우에도 부호에 관계없이 덧셈 정리를 적용할 수 있음을 증명할 수 있다. 이 결과는 [math(\alpha+\beta)] 혹은 [math(\alpha-\beta)]가 음이라도 덧셈 정리는 유효함 또한 암시한다. 나아가 상술했듯 각이 실수가 아니어도 성립한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기